行列の基礎

転置行列

  内積と転置行列

  任意の $n$ 次実ベクトル $\mathbf{x}, \mathbf{y}$ の内積を

内積と転置行列の関係00

と定義するとき、任意の正方行列 $A$ は、

内積と転置行列の関係00

を満たす。
  ここで、$x_{i}, y_{i}$ $(i=1,2,\cdots, n)$ はベクトル $\mathbf{x}, \mathbf{y}$ の成分である。
最終更新 2016 年 2 月 17 日


  証明

  内積の定義より、

内積と転置行列の関係02

である。ここで $(A \mathbf{y})_{i}$ は、ベクトル $A \mathbf{y}$ の第 $i$ 成分である。 行列とベクトルの積の定義により、これは、

内積と転置行列の関係03
である。 よって、

内積と転置行列の関係04

と表せる。
  転置行列の定義により、

内積と転置行列の関係04
が成立するので、

内積と転置行列の関係06

を得る。
  ここで $\sum_{i=1}^{n} A^{T}_{ji} x_{i}$ は、ベクトル $A^{T}\mathbf{x}$ の第 $j$ 成分であるので、すなわち、

内積と転置行列の関係07
であるので、

内積と転置行列の関係08
と書ける。
  内積の定義から、右辺は $(A^{T}\mathbf{x}, \mathbf{y})$ に等しいので、

内積と転置行列の関係09
が成立する。







ページのトップへ戻る