不確定性原理

 ロバートソンの不等式

  物理量 $Q$ の標準偏差 $σ(Q)$ と、物理量 $P$ の標準偏差 $σ(P)$ の積には、

ロバートソンの不等式00

が成立することを量子力学のルールに従って証明することができる。 この式をロバートソンの不確定性原理(Robertson uncertainty relation)、 あるいはロバートソンの不等式という。
最終更新 2016年 1月8日


  証明

  任意の量子状態を $\rho$ 、任意の物理量を $A, B$ とする。 $[A,B] =AB-BA$ の期待値は、

$$ \langle [A, B] \rangle = \mathrm{Tr}\left[ \rho [A, B] \right] = \mathrm{Tr}[\rho AB] - \mathrm{Tr}[\rho BA] $$
である。ここで

$$ \mathrm{Tr}[\rho BA] = \mathrm{Tr}[(\rho BA)^{\dagger}]^{*} = \mathrm{Tr}[A^{\dagger} B^{\dagger} \rho^{\dagger}]^{*} = \mathrm{Tr}[A B \rho]^{*} = \mathrm{Tr}[\rho A B ]^{*} $$
と表せることから

\begin{eqnarray} \left| \langle [A, B] \rangle \right|^2 &=& \left| \mathrm{Tr}[\rho AB] - \mathrm{Tr}[\rho AB]^{*} \right|^2 \\ &=& \left| 2i \mathrm{Im} \left[ \mathrm{Tr}[\rho AB] \right] \right|^2 \\ &=& 4 \mathrm{Im} \left[ \mathrm{Tr}[\rho AB] \right]^2 \end{eqnarray}

を得る。加えて $ \mathrm{Re} \left[ \mathrm{Tr}[\rho AB] \right]^{2} \geq 0 $ により

\begin{eqnarray} \left| \langle [A, B] \rangle \right|^2 &\leq& 4 \mathrm{Im} \left[ \mathrm{Tr}[\rho AB] \right]^2 +4 \mathrm{Re} \left[ \mathrm{Tr}[\rho AB] \right]^2 \\ &=& 4 \left| \mathrm{Tr}[\rho AB] \right|^2 \end{eqnarray}
を得る。 ところで $\mathrm{Tr}[\rho AB]$ は、

\begin{eqnarray} \mathrm{Tr}[\rho AB] &=& \mathrm{Tr}[\rho^{\frac{1}{2}} \rho^{\frac{1}{2}} AB] \\ &=& \mathrm{Tr}[\rho^{\frac{1}{2}} AB\rho^{\frac{1}{2}} ] \\ &=& \mathrm{Tr}[ \big( A\rho^{\frac{1}{2}} \big)^{\dagger} B\rho^{\frac{1}{2}} ] \\ &=& ( A \rho^{\frac{1}{2}}, B\rho^{\frac{1}{2}} )_{\mathcal{HS}} \end{eqnarray}
と表せる。ここで $ ( \cdot, \cdot )_{\mathcal{HS}}$ は、ヒルベルト・シュミット内積である。これより、

$$ \left| \langle [A, B] \rangle \right|^2 \leq 4 \big| ( A \rho^{\frac{1}{2}}, B\rho^{\frac{1}{2}} )_{\mathcal{HS}} \big|^2 $$
を得る。シュワルツの不等式により、 $ \big| ( A \rho^{\frac{1}{2}}, B\rho^{\frac{1}{2}} )_{\mathcal{HS}} \big|^2 \leq \| A \rho^{\frac{1}{2}} \|^2 \| B \rho^{\frac{1}{2}} \|^2 $ が満たされるので $$ \left| \langle [A, B] \rangle \right|^2 \leq 4 \| A \rho^{\frac{1}{2}} \|^2 \| B \rho^{\frac{1}{2}} \|^2 $$ を得る。ここで、 \begin{eqnarray} \| A \rho^{\frac{1}{2}} \|^2 &=& \mathrm{Tr} \big[ ( A \rho^{\frac{1}{2}})^{\dagger} A \rho^{\frac{1}{2}}\big] \nonumber\\ &=& \mathrm{Tr} \big[ (\rho^{\frac{1}{2}})^{\dagger} A^{\dagger} A \rho^{\frac{1}{2}}\big] \nonumber\\ &=& \mathrm{Tr} \big[ \rho^{\frac{1}{2}} A A \rho^{\frac{1}{2}}\big] \nonumber\\ &=& \mathrm{Tr} \big[ \rho^{\frac{1}{2}} \rho^{\frac{1}{2}} A^2 \big] \nonumber\\ &=& \mathrm{Tr} \big[ \rho A^2 \big] \nonumber\\ &=& \langle A^2 \rangle \end{eqnarray} と表せる。同様に \begin{eqnarray} \| B \rho^{\frac{1}{2}} \|^2 &=& \langle B^2 \rangle \end{eqnarray} と表せることから、 \begin{eqnarray} \left| \langle [A, B] \rangle \right|^2 &\leq& 4\langle A^2 \rangle \langle B^2 \rangle \end{eqnarray} を得る。
  この不等式は $ A=Q - \langle Q \rangle $ , $ B=P - \langle P \rangle $ の場合($Q$ と $P$ は物理量)、

$$ \left| \langle [Q - \langle Q \rangle, P - \langle P \rangle] \rangle \right|^2 \leq 4\langle (Q - \langle Q \rangle)^2 \rangle \langle (P - \langle P \rangle)^2 \rangle $$
と表される。左辺の交換子は、 $ [Q - \langle Q \rangle, P - \langle P \rangle] = [Q, P] $ を満たすので、

$$ \left| \langle [Q, P] \rangle \right|^2 \leq 4\langle (Q - \langle Q \rangle)^2 \rangle \langle (P - \langle P \rangle)^2 \rangle $$
を得る。$Q$ と$P$ の標準偏差をそれぞれ \begin{eqnarray} \sigma(Q) &=& \langle (Q - \langle Q \rangle)^2 \rangle^{\frac{1}{2}} \\ \sigma(P) &=& \langle (P - \langle P \rangle)^2 \rangle^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray} と定義すると、 $$ \frac{1}{4} \left| \langle [Q, P] \rangle \right|^2 \leq \sigma(Q)^2 \sigma(P)^2 $$ と表される。これより、 $$ \sigma(Q) \sigma(P) \geq \frac{1}{2}\left| \langle [Q, P] \rangle \right| $$ を得る。







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